Intuitive Custom Post Orderを有効にしても、デフォルトではWP-REST-APIの並び順に反映されない模様。functions.phpに以下のadd_filter
を追記することで並び替えを有効化できます。
add_filter( "rest_post_query", function( $args, $request ) {
$args['orderby'] = 'menu_order';
return $args;
}, 10, 2 );
元記事
wordpress.stackexchange.com